Prąd średni i prąd skuteczny

Przy liczeniu strat w przetwornicach bardzo ważne jest zrozumienie w jaki sposób powstają straty na elementach liniowych (lub bliskich w zachowaniu liniowym) a w jaki na nieliniowych.

Straty w elementach liniowych wynikają wprost z prawa Ohma - przepływ prądu skutkuje spadkiem napięcia na rezystancji i wydziela się moc określona wzorem P = U * I. Jeśli pod U podstawimy prawo Ohma - wyjdzie nam P = R * I * I = I^2 * R.
Typowymi miejscami powstawania strat na elementach liniowych są uzwojenia transformatorów i dławików oraz rezystancja Rds(on) MOSFETów.

W przypadku elementów nieliniowych liczenie mocy strat jest dość trudne. Na szczęście najczęściej spotykanym elementem nieliniowym jest dioda. Jej napięcie przewodzenia, w zakresie istotnym dla liczenia mocy strat, zmienia się w stopniu niewielkim. Dlatego też moc strat na diodzie zazwyczaj wyznacza się wprost z iloczynu prądu średniego i napięcia przewodzenia diody.

Ponieważ w zdecydowanej większości przypadków interesuje nas ciepło powstałe przy stratach, zainteresujmy się definicją wartości skutecznej:

Wartość skuteczna (RMS z ang. Root Mean Square) jest statystyczną miarą sygnału okresowo zmiennego (najczęściej dotyczy wielkości elektrycznych prądu i napięcia).
Wartość skuteczna prądu przemiennego jest taką wartością prądu stałego, która w ciągu czasu równego okresowi prądu przemiennego spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał prądu przemiennego (zmiennego). http://pl.wikipedia.org/wiki/Wartość_skuteczna

Straty liczone na podstawie wartości skutecznej dotyczą zawsze strat na elementach liniowych - czyli rezystancjach. Pamiętajcie - zawsze liczymy je na podstawie wartości skutecznej.

Po definicji w podręcznikach pojawiają się zazwyczaj bardzo mądre wyprowadzenia wartości skutecznej dla prądu sinusoidalnie przemiennego. I na tym koniec. Niestety, w naszej praktyce zazwyczaj spotykamy się z przebiegami bardzo dalekimi od idealnej sinusoidy. A niekoniecznie każdy z nas musi biegle całkować, żeby umieć sobie powyprowadzać różne wzory na wartości skuteczne najbardziej typowych przebiegów. Ponieważ nie jest to forum dla matematyków - darujemy sobie wyprowadzanie wzorów. Przez lata powyprowadzałem sobie najistotniejsze wzory i w miarę ich odnajdywania w moich szpargałach, będę je podawał.

Zacznijmy od podstaw, czyli definicji symboli:

Ip - prąd szczytowy
Imin - prąd minimalny
Imax - prąd maksymalny
Irms - prąd skuteczny
Iavg - prąd średni bezwzględny

f - częstotliwość
ton - czas otwarcia klucza
toff - czas zamknięcia klucza
T - okres - równy 1/f a także ton + toff
D - współczynnik wypełnienia równy ton/T a także ton * f

sqrt() - pierwiastek kwadratowy
^ - potęgowanie
Π - liczba pi

No to teraz jazda:

I. Prąd sinusoidalnie przemienny:

Irms = Ipk/sqrt(2)

Prms = R * Ipk^2/2

Iavg = Ipk * 2/Π

II. Prąd sinusidalnie przemienny wyprostowany jednopołówkowo:

Irms = Ipk/2

Prms = R * Ipk^2/4

Iavg = Ipk / Π

III. Prąd prostokątny przemienny o pełnym wypełnieniu:

Irms = Ipk

Prms = R * Ipk^2

Iavg = Ipk

IV. Prąd prostokątny o niepełnym wypełnieniu:

I tu bardzo ważna uwaga - w przypadku prądu przemiennego symetrycznego, do celów obliczania wartości skutecznej traktujemy go jak prąd wyprostowany - czyli oba impulsy po tej samej stronie osi X a wypełnienie liczone jako D = ton/T gdzie T to ton + toff

Irms = sqrt(D) * Ipk - jeden z najbardziej zaskakujących wzorów - na przykład prąd impulsowy z wypełnieniem 1% ma wartość skuteczną aż 10% wartości szczytowej.

Prms = R * D * Ipk^2

Iavg = D * Ipk

V. Prąd o przebiegu trapezowym - typowy dla przetwornic pracujących w trybach CCM:

Czyli Irms = sqrt(D * (Imax^3/3 - Imin^3/3) / (Imax-Imin)) - aż się prosi o uproszczenie, ale jak go kiedyś wpakowałem do arkusza i wszyskie wyniki okazały się poprawne, to już mi się nie chciało upraszczać ;)

A jednak uprościłem:

Irms = sqrt(D * (Imin^2 + Imin * Imax + Imax^2)/3)

Czyli Prms = R * D * (Imax^3/3 - Imin^3/3) / (Imax-Imin)

Po uproszczeniu:

Czyli